Дифференцируемость функции

Пусть $f(x)$ определена в $O(x_{0})$. Если $\exists{\lim_{x \to x_{0}} \dfrac{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}} = f'(x)}$, то $f'(x)$ - производная в точке $x_{0}$

$f(x)$ дифференцируема в $x_{0}$, если её приращение представимо в виде: $$\Delta f(x_{0}) = f(x_{0} + \Delta x) - f(x_{0}) = A\Delta x + o(\Delta x),~~ \Delta x \to 0$$ для некоторого числа $A$ Линейная часть приращения функции ($A\Delta x$) - **дифференциал**